总结一下网络表示学习 (network embedding/network representation learning) 的东西。

网络表示学习即是将节点表示为向量。
为什么表示为向量，目前看来有以下几点原因：

  1. 向量是一种分布式表示，比 one-hot 表示什么的更易于使用，如可以方便地作为 feature 喂给 classifier 等。而这其实也是因为分布式表示含有很多隐含信息，不像 one-hot 向量，丁是丁卯是卯。同时，分布式表示可以比 one-hot 表示短得多。
  2. 网络 (graph) 是一种不够结构化的数据结构。想要在网络中获取有用的信息，哪怕只关注一个节点，也必然要关注网络中与之相关的一群节点，算法复杂度指数上升，解决问题的复杂性也是指数上升。这种级联的问题使得在网络上的研究很麻烦，千头万绪。而把每个节点表示为一个独立的向量就很方便了。
  3. 网络不规则。网络中的节点有的度很大，有的度很小，每个节点的邻居个数不一样，在网络上直接处理会很麻烦。转化为向量后，向量长度都一样，就规则了。
  4. 网络很大时处理起来时间和空间复杂度都太高，邻接矩阵和 laplacian 矩阵都是 $N^2$ 大小，而处理成 embedding 向量后，长度就很短了，给下游任务使用时复杂度就小得多。

接下来的问题是怎么将节点表示成向量。
这里首先要确定的是要从哪个角度来确定节点间的相似性。目前我接触到的主要是以下两个角度：

  1. Homogeneity/proximity，这个主要是社区 (community) 角度，即相邻的节点更可能在社区属性上相似。在某篇论文上看到一个解释说，从这个角度看，网络是平滑的，感觉很形象很直觉。
  2. Structural similarity，这个主要是结构或功能角度，即周围结构相似的节点更可能在功能上相似。
    当然，社区很多时候也会和功能相关，功能相似的节点也很可能相邻，所以这两个角度会有一些相似或重叠的地方。
    但如果两个结构相似的节点相距很远时，这两个角度就几乎是正交的了。

首先说第一个角度，第一个角度的基本假设是『相邻节点相似』，这可以称为是 first-order proximity。而另一方面，基于这个假设，与同一个节点相似的节点之间也更可能相似，那么两个节点之间共同邻居越多，它们也就更可能相似，这可以称为 second-order proximity，这时，两个节点之间相距为 2。当然，距离再远些还可以有 high-order proximity。

那么如何捕捉 (capture) 这些 proximity 呢？
最早 DeepWalk 是以节点作为单词，以随机游走序列作为句子，得到句子序列之后喂给 word2vec 从而得到节点 embedding。word2vec 会将窗口内的节点作为上下文，所以 DeepWalk 捕捉的是 $k$ (window size) 阶proximity？
之后出现了 LINE，LINE 一方面针对大型网络进行了优化，另一方面，给出了 objective function，这就使得对于网络表示学习的改进更加容易。因为要在基于 random walk 的方法上继续改进，一般只能在网络结构 (如 HARP？) 或 random walk 的生成模式 (如 node2vec) 上做手脚，这样改进或扩展起来就很不方便。而在 LINE 给出了 objective function 后，只要针对自己预想的改进，调整目标函数就好了。因此，后面看到的很多网络表示学习的论文都是基于 LINE 做的改进，如加入社区结构、加入影响力模型等等。
之后，又出现了基于矩阵分解的网络表示学习方法，如 GraRep，但这类方法速度比较慢。
除此之外，还有基于深度学习的方法，如 SDNE，本质上可以看作使用自编码器对邻接矩阵降维？

本质上，这些方法都可以看作用向量表示来模拟网络中的概率分布，不同的是这个概率分布是从哪个角度计算的，以及是怎么计算的。如 LINE 中定义的网络中的概率分布就比较简单直接，基本是边权重除以中心节点的度，然后以 sigmoid 或 softmax 来用向量表示表达这个概率，接下来就是用 KL-divergence 来最小化两个分布的距离就可以了。对于基于 random walk 的方法，这个网络中的概率分布就隐含在 random walk 中而没有明确定义。
对于 DeepWalk 来说，random walk 相当于NLP里的句子，而在 NLP 中，word2vec 所做的事情相当于通过向量表示使句子生成的概率最大化，那么在 DeepWalk 中，节点相当于 vocabulary，DeepWalk 的目的就是用节点向量使 random walk 生成的概率最大化。
就好象给定 N 个节点，用这 N 个节点可以生成有不同连接方式的网络，假设这些不同的网络构成一个集合(空间？) S，那么我们见到的那个网络 G 只是这个集合中的一个元素。用不同的向量表示这些节点，生成这些网络的概率也会不同，我们要做的是调整这些向量，使生成给定网络 G 的概率最大。那么此时问题在于如何表示『向量生成某个网络 G 的概率』。DeepWalk 首先将网络转化为 random walk 序列，可以理解为在给出足够多 random walk 序列时，这些序列在集合 S 中对应 G 的概率最大，从而我们可以用 random walk 序列近似表示网络 G，接下来只要向量表示生成这些 random walk 序列的概率越大，就可以理解为生成网络 G 的概率越大。然后我们再将 random walk 生成的概率近似用上下文生成中心词(或反过来)的概率表示，就可以用 word2vec 的 CBOW 或 skipgram 学习了。这里 S，G 有点像监督学习里的 hypothesis set 和 ideal target function。

另，考虑另一个问题：给定一个 $N \times N$ 的矩阵 $A$，矩阵里每个元素 $A_{ij}$ 表示两个点 $i$ 和 $j$ 之间的距离，求给出每个节点的坐标，使满足该矩阵。坐标维数不做限定。
如果该问题里的点对应网络中的节点，矩阵中的值表示节点间的最短路径距离或转移概率，所求坐标对应向量表示，那么network embedding可以看作对这个问题的近似求解？
这个问题可以看作有两个步骤，一是给出矩阵 $A$，二是求节点坐标 (即embedding)。大多数network embedding方法其实可以看作是对于这两个步骤给出了不同的解决方案。即以不同方式定义节点间的相似度，给出不同的矩阵 $A$，或者以不同方式求解 embedding。

TODO:
结构相似性角度
graph kernel
link prediction